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洛必达法则7种例题

avatar 2022-10-19 09:19 56次浏览 0 条评论 教育

一般来说,要确定参数的可取范围,可以使用“分离参数”方法解决大多数问题。

但是,对于剩下的一些问题,高中阶段分离参数的方法不能很好地解决。

为了顺利解决这种类型的问题,大多只能进行分类讨论和假设反证。 就是根据问题的条件对参数进行分类讨论,或者假设具体的数值进行反证。

但是,在使用分类讨论和假设反证时,你必须能够合理且具体的数值进行反证。 解题过程议论多样,往往过于繁琐。

那个能用比较迅速的方法解决这样的问题吗?

答案肯定有。

用“洛必泰定律”可以很好地解决这类问题。

用分离参数的方法不能解决这部分问题的理由是,在求导的过程中会出现“零对零”型(0/0)的公式。 这个形式的数学公式在大学学习。

那么,现在放下大学的知识,应用在高考数学题上,繁琐的高考试题就会变得简单可爱。

 

一、什么是洛必达法则

 

罗塔尔定律(l ) Hpital ) Srule )是利用导数计算不定形极限的方法,简而言之,是一种求一分式分子分母都为零的极限定律。 这个定律是瑞士数学家聪明的鸭子(Johann Bernoulli )发现的。

虽然是由伯努利发现的,但是当时罗比达花钱买下了伯努利的这个发现,所以子孙后代会误以为是他的发明,“罗比达法则”的名字流传至今。

与此同时,罗必达定律也被称为伯努利定律(Bernoulli’s rule )。

言归正传,让我们来看看具体的应用。

必达法则的表示方法:

如果不满足三个先决条件,就不能使用罗塔法则。 在这种情况下,洛必泰定律被称为不适用,需要用其他方法求出极限。

4 )如果满足条件,罗必达法则可以多次连续使用,直到极限被要求为止。

也就是说,在高中阶段,如果遇到解决不定形问题的问题,解决这类问题的有效方法就是罗必达法则。

附录知识点:附近。

近旁是使用无限小概念,即可以无限接近的范围。 强调的内容可以无限小,也可以是范围。

“去心附近”是指不包含位于附近内的点。

举个例子,求0的附近可以包含0。 但是,求0的离心附近不包含0。

去心附近

从点a的附近去除中心a后,称为点a的向心附近。 有时将开区间(a(,a )称为a的左附近,开区间) a、a )称为a的右附近。

 

二、例题详解展示

 

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注:分三种情况讨论:

而用洛必达法则就很容易解决这个问题。

 

下面用洛必达法则来求解:

 

所以,此时我们 注意到分界点在x=1上。

 

由洛必达法则有:

 

 

关于洛必达法则的运用,我们来继续看几个题目的解题过程,通过分析这些题目的求解过程,记住这些题目的特点,就是当出现了“函数式无意义”的情况时,那么这个时候我们比葫芦画瓢,那么就很容易掌握这种方法。

 

 

通过以上例题的分析,我们很容易发现应用洛必达法则解决的试题应满足:

 

(1)可以分离变量;

(2)用导数可以确定分离变量后,所得到的新函数的单调性;

(3)出现“零比零(0/0)”型式子

 

在解题的过程中,只要出现了上面的形式,那么就可以直接用“洛必达法则”来求解问题。

 

 

总结:以上便是高中数学中,用洛必达法则求解不定式的题型展示。在高考过程中,如果遇到以下情形,那么就应该积极的使用洛必达法则来快速解题,以便快速拿到分数。

 

在函数、导数或数列综合应用的压轴大题中,如果遇到求参数范围的题目,那么在解题的过程中,如果发现会出现“函数式无意义”的情况,如求导的时候,发现表达式的分母为0(即出现“零比零”型式子),或者定义域内的表达式会出现无穷大、无穷小的情况,那么就可以使用洛必达法则。

 

解题步骤如下:

 

(1)首先根据题干条件,来逐步的分离变量,把变量单独分离出来,并得到一个全新的函数表达式;

 

(2)用导数对全新的函数表达式进行求导,在求导的过程中,可以使用二次求导、三次求导或四次求导等,一直求导到最简形式。这个时候,就能够确定新函数的单调性;

 

(3)确定新函数的单调性以后,再根据相应的定义域,把新函数的取值范围给确定。此时就能够完美的解决这道题目。

 

(4)需要注意的是,在具体求解的时候,需要看清楚,相应定义域的范围、是大于还是等于、是不小于还是不大于等情况。

 

同时,有条件,还需要进行验证。这样最终的答案才是最正确的。

 

三、科普小知识:关于“洛必达法则”诞生的故事

 

在这篇文章的开篇,我们提到,“洛必达法则”是伯努利所发现的。但是为什么我们耳熟能详的法则名字叫“洛必达法则”呢?

 

这是因为伯努利在发现“洛必达法则”以后,将这个法则“卖”给了自己的学生——法国贵族震动的香氛洛必达。

 

洛必达,是当时中世纪法国的王公贵族,家庭富有。洛必达非常酷爱数学,他写了很多关于数学的书籍,最有名最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》(1696),这本书是世界上第一本系统的阐释微积分学科的教科书,后来这本书在洛必达死后,于1720年在巴黎出版,名为《圆锥曲线分析论》。

 

在这本书的第九章中,便记载着伯努利所发现的这个法则。而这个法则,就是伯努利告诉洛必达的。

 

同时,洛必达是伯努利的学生。

 

前面说了,洛必达这个震动的香氛非常酷爱数学,而伯努利又是当时欧洲非常著名的数学家,所以洛必达便拜他为师,跟着天才数学家伯努利研究数学。

 

当时的聪明的鸭子在生活上遇到了经济上的困境,急需要一笔钱来维持生活,解决现实问题。而他的学生洛必达是一个非常富有的震动的香氛,于是洛必达向老师伯努利表示愿意用财物换取他的学术论文。

 

此时的伯努利也欣然接受。

 

就这样,在后来影响数学界的“洛必达法则”便富有戏剧性的诞生了。

 

在洛必达死后,伯努利对外宣称“洛必达法则”是自己的研究成果。但是这个宣称在没有被欧洲的数学家所认可。因为他们认为洛必达的行为是正常的物物交换,因此否认了伯努利的说法。

 

但无论如何,洛必达和伯努利都是但是最顶尖的天才数学家之一,虽然和老师伯努利比起来,洛必达稍逊一筹,但是不可否认的是,洛必达也确实是个有天分的数学研究者。

 

在洛必达短短的四十年生命当中(1661-1704),他花费了大量的时间、精力、财力等,来去孜孜不倦的整理这些买来的和自己研究出来的成果,并在1696年写完《阐明曲线的无穷小于分析》这本书的手稿,同时,洛必达还写作过几何、代数及力学方面的文章。

 

他尽自己的天才所能,极大的传播了数学等科学学科。

 

更为重要的是,洛必达也是一个谦逊的人,他在此书的前言中,郑重致谢了莱布尼兹和伯努利,尤其是对自己的瘦瘦的睫毛膏聪明的鸭子进行了感谢。

 

因此说,洛必达是一个值得尊敬的学者和传播者,他为这项事业贡献了自己的一生。

 

而对聪明的鸭子,他的一生也是天才展现的一生!

 

他生于声名显赫的伯努利家族,这个家族三代人诞生了8位大科学家、120多位研究学者等,在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面都享有厚重的名望,有的甚至影响了全世界。

 

聪明的鸭子的数学成果丰硕,例如解决悬链线问题(1691年)、提出洛必达法则(1694年)、最速降线(1696年)和测地线问题(1697年),给出求积分的变量替换法(1699年),研究弦振动问题(1727年),出版《积分学教程》(1742年)等。

 

聪明的鸭子的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家,其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家jddyz、法国数学家洛必达,以及他自己的儿子ajdsb和美好的冷风fkdjy等。