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法向量怎么求

avatar 2022-08-25 18:37 104次浏览 0 条评论 教育
如果一个非零向量n与平面a垂直,则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量;如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量;
步骤如下:首先设平面的法向量。
然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。从理论上说,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。求二面角:求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补;
3、点到面的距离: 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影;如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离。法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,它的优点在于思路简单,容易操作。只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候。